Stochastic Evolutionary Game Dynamics
Traulsen, A., & Hauert, C. (2009). Stochastic evolutionary game dynamics. Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity, 2, 25–61.
Game theory and evolution
早期的 game theory 基于以下假设：
人类是 rational 的；
同时他们也意识到：互动对象知道自己的决策是 rational 的，反之亦然
因此每个个体都可以基于 utility function 来制定策略。因为他人采取的行动能够被预测，以制定出最优的策略确保能够将个人收益最大化。但是以上假设是不切实际的——即使仅仅考虑个体A和个体B之间的简单互动，个体也无法做出完全理性的决策：A预知到B的行为，B预知到A预知到B的行为……这将导致 infinite iteration。
经济学领域提出了可避免上述情形的概念—— bounded rationality。如果将获取和处理信息的 cost 纳入考虑的范围，那么人类就无法做到完全理性地分析，准确地预测他人的行为也就不可能达成。
在生物学领域，研究者们也提出了全然不同的处理方式。John Maynard Smith和 George Price 提出了 evolutionary game theory。他们认为 utility function（通常被认为是博弈的回报）与 reproductive fitness 是一致的。所以他们的理论与 classical game theory 不同于以下两个层面：
- evolutionary game theory 的研究对象是基于群体的，而不是研究两个（或少量）的参与者
- 与 static classical game theory 不同，evolutionary game theory 通过自然的方式将 dynamics 引入被研究的系统
对于 evolutionary game theory 存在着两种解释：
- 传统角度：strategies 被编码在个体的基因里，成功的 types 将会在群体中传播
- 社会演化：成功的个体总是会被其他个体借鉴模仿
复制动力学
上式称为 replicaor equation。其中 $x_i$ 指 strategy type $i$ 在群体中占的比例，$\pi$ 是 fitness 而 $\left<\pi\right>$ 是整个群体的平均 payoff。说明了如果 $i$ 的 $\pi$ 大于 $\left<\pi\right>$，那么$i$ 的数量就会上升，反之则减少。如果 $\pi_i$ 的值是固定的，就称之为 constant selection。但是通常来说，$\pi_i$ 取决于其他所有的 $x_i$ 比例，所以其变化是往往是非线性的。
例如经典的 $2\times2$ games 有以下四种情形：
- Dominance：这种情况下，不管对手采取什么样的行动，采取某种特定的策略总是最优。
- Bistability：称为 coordination games。个体能够找到平均收益最大化的策略。如果对手无法信赖，那么个体就应该转向能够避免最大损失的策略。这种情况将会导向 risk dominance。
- Coexistence：群体中稳定存在着不同策略类型的混合，但其密度是不稳定的。
- Neutrality：所有策略密度都是固定的。这样非普遍的情况激不起人们太大的兴趣，但是在有限群体的动态进化博弈里它将发挥重要作用。
复制方程能够呈现丰富的动态内容：它能够表示基因通过复制以增强适应性和模仿他者的策略来决策。但是复制动力学仅仅只是确定动态选择（deterministic selection dynamics）的其中一种变体。它无法解释的是个体有时候能创造性地采用之前群体中从未出现过的策略。